Cálculo Exemplos

$\ln (4 y) = 5 x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (4 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 y$ .

$\frac{1}{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4 y}$ .

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$5 (x y' + y)$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x y' + 5 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{y} = 5 x y' + 5 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = (5 x y' + 5 y) y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(5 x y' + 5 y) y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = 5 x y' y + 5 y \cdot y$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Mova $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 (y \cdot y)$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.3

Mova $x$ .

$y' = 5 y' x y + 5 y^{2}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $5 y' x y$ dos dois lados da equação.

$y' - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $y' - 5 y' x y$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $- 5 y' x y$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 x y) = 5 y^{2}$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 5 x y)$ .

$y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ por $1 - 5 x y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ por $1 - 5 x y$ .

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 5 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$