Cálculo Exemplos

$x \cos (x y) = x + y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x \cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x (- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \cdot 1$

Etapa 2.8

Multiplique $\cos (x y)$ por $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y)$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Etapa 2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- \sin (x y) (x y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Etapa 2.9.3

Combine os termos.

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Etapa 2.9.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Etapa 2.9.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Etapa 2.9.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Etapa 2.9.3.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Etapa 2.9.4

Reordene os termos.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$ .

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Etapa 5.2

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Some $x y \sin (x y)$ aos dois lados da equação.

$- x^{2} y' \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y)$

Etapa 5.3.2

Subtraia $\cos (x y)$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} y' \sin (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $- x^{2} y' \sin (x y) - y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $- x^{2} y' \sin (x y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y)) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ por $- x^{2} \sin (x y) - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ por $- x^{2} \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $- x^{2} \sin (x y) - 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2} \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1}$

Etapa 5.5.3.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)}$

Etapa 5.5.3.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Etapa 5.5.3.7

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.5.3.7.1

Reescreva $- (x^{2} \sin (x y) + 1)$ como $- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Etapa 5.5.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$