Cálculo Exemplos

$8 \sqrt{y} = x - 5 y$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 y^{\frac{1}{2}} = x - 5 y$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (8 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 5 y)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 y^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.9

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $8$ .

$\frac{8}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.11

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.1

Fatore $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Etapa 3.14

Combine $\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - 5 y'$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - 5 y'$

Etapa 6

Resolva $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 y' = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $(1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 y' = y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Reordene $y^{\frac{1}{2}}$ e $- 5 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y' = - 5 y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.3.1

Some $5 y' y^{\frac{1}{2}}$ aos dois lados da equação.

$4 y' + 5 y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2

Encontre um divisor comum $y^{\frac{1}{2}}$ que esteja presente em cada termo.

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.3

Substitua $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' u - (u) = 0$

Etapa 6.3.4

Resolva $u$ .

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Etapa 6.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Etapa 6.3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Etapa 6.3.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {y'}^{1} + 5 y' u - u = 0$

Etapa 6.3.4.1.2

Simplifique.

$4 y' + 5 y' u - u = 0$

Etapa 6.3.4.2

Subtraia $4 y'$ dos dois lados da equação.

$5 y' u - u = - 4 y'$

Etapa 6.3.4.3

Fatore $u$ de $5 y' u - u$ .

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Etapa 6.3.4.3.1

Fatore $u$ de $5 y' u$ .

$u (5 y') - u = - 4 y'$

Etapa 6.3.4.3.2

Fatore $u$ de $- u$ .

$u (5 y') + u \cdot - 1 = - 4 y'$

Etapa 6.3.4.3.3

Fatore $u$ de $u (5 y') + u \cdot - 1$ .

$u (5 y' - 1) = - 4 y'$

Etapa 6.3.4.4

Divida cada termo em $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ por $5 y' - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.4.4.1

Divida cada termo em $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ por $5 y' - 1$ .

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Etapa 6.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $5 y' - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Etapa 6.3.4.4.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Etapa 6.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Etapa 6.3.5

Substitua $y'$ por $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$