Cálculo Exemplos

$5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) = 3$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \sin (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \cos (y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (y)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x) \cos (y)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) - 3 (\cos (y) \cos (x))$

Etapa 2.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (y) \cos (x)$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$

Etapa 3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$ .

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $3 \cos (x) \cos (y)$ aos dois lados da equação.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 5 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y)$

Etapa 5.2.2

Subtraia $5 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Etapa 5.3

Fatore $y' \sin (y)$ de $- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y' \sin (y)$ de $- 4 y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 4 + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Etapa 5.3.2

Fatore $y' \sin (y)$ de $3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Etapa 5.3.3

Fatore $y' \sin (y)$ de $y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x))$ .

$y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (y)$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $- 4 + 3 \sin (x)$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Separe as frações.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.2

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como um produto.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.3

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.3.1.4.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.5

Multiplique $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Etapa 5.4.3.1.5.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.5.2

Combine $\frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)}$ e $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y)) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.6

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cdot \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.7

Separe as frações.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Etapa 5.4.3.1.8

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como um produto.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.4.3.1.9

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.4.3.1.10

Simplifique.

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Etapa 5.4.3.1.10.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.4.3.1.10.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Etapa 5.4.3.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Etapa 5.4.3.1.12

Multiplique $- \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Etapa 5.4.3.1.12.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y)$

Etapa 5.4.3.1.12.2

Combine $\csc (y)$ e $\frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.1.13

Mova $5$ para a esquerda de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.2

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)$ .

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Etapa 5.4.3.2.2.1

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.2.2

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $- 5 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.2.3

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.3

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) + 3 \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $3 \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) - (- 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (4) - (- 3 \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4 - 3 \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$