Cálculo Exemplos

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 \sqrt{x} = 0$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x y)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x y$ .

$6 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$6 y y' - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 3.4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 3.4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 3.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 3.4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.9

Combine $- 5$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 y y' - \cos (x y) (x y') - \cos (x y) y - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1

Reordene os fatores em $6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 y y' - x y' \cos (x y) - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $y \cos (x y)$ aos dois lados da equação.

$6 y y' - x y' \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = y \cos (x y)$

Etapa 6.2.2

Some $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$6 y y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3

Fatore $y'$ de $6 y y' - x y' \cos (x y)$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $y'$ de $6 y y'$ .

$y' (6 y) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.2

Fatore $y'$ de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (6 y) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.3

Fatore $y'$ de $y' (6 y) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $6 y - x \cos (x y)$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $6 y - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $6 y - x \cos (x y)$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$

Etapa 6.4.3.1.2

Multiplique $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Etapa 6.4.3.2

Para escrever $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Etapa 6.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(6 y - x \cos (x y)) \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Etapa 6.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Etapa 6.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Etapa 6.4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.4.3.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Etapa 6.4.3.5.2

Reordene os fatores em $\frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$ .

$y' = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$