Cálculo Exemplos

$3 x^{2} y^{2} = 4 x^{2} - 4 x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 4 x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$3 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Etapa 2.7

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{2} y y') + 3 (2 y^{2} x)$

Etapa 2.8.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (x^{2} y y') + 3 (2 y^{2} x)$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} y y' + 6 y^{2} x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 4 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x y$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x - 4 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$8 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 x - 4 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$8 x - 4 (x y' + y)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x - 4 (x y') - 4 y$

Etapa 3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$8 x - 4 x y' - 4 y$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$- 4 x y' + 8 x - 4 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 x^{2} y y' + 6 y^{2} x = - 4 x y' + 8 x - 4 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $4 x y'$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} y y' + 6 y^{2} x + 4 x y' = 8 x - 4 y$

Etapa 5.2

Subtraia $6 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$6 x^{2} y y' + 4 x y' = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Etapa 5.3

Fatore $2 x y'$ de $6 x^{2} y y' + 4 x y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 x y'$ de $6 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (3 x y) + 4 x y' = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 x y'$ de $4 x y'$ .

$2 x y' (3 x y) + 2 x y' \cdot 2 = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 x y'$ de $2 x y' (3 x y) + 2 x y' \cdot 2$ .

$2 x y' (3 x y + 2) = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 x y' (3 x y + 2) = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$ por $2 x (3 x y + 2)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 x y' (3 x y + 2) = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$ por $2 x (3 x y + 2)$ .

$\frac{2 x y' (3 x y + 2)}{2 x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y' (3 x y + 2)}{2 x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y' (3 x y + 2)}{x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (3 x y + 2)}{x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 x y + 2)}{3 x y + 2} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $3 x y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 x y + 2)}{3 x y + 2} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x (3 x y + 2)$ .

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4 x}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 x}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 4 y$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x (3 x y + 2)$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{- 2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.5

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.5.1

Fatore $2$ de $- 6 y^{2} x$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{2 (- 3 y^{2} x)}{2 x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.5.2.1

Fatore $2$ de $2 x (3 x y + 2)$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{2 (- 3 y^{2} x)}{2 (x (3 x y + 2))}$

Etapa 5.4.3.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{2 (- 3 y^{2} x)}{2 (x (3 x y + 2))}$

Etapa 5.4.3.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.6

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.2

Para escrever $\frac{4}{3 x y + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 x y + 2) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1

Multiplique $\frac{4}{3 x y + 2}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{4 x}{(3 x y + 2) x} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(3 x y + 2) x$ .

$y' = \frac{4 x}{x (3 x y + 2)} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 x - 2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.5

Fatore $2$ de $4 x - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.5.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$y' = \frac{2 (2 x) - 2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.5.2

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.5.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Etapa 5.4.3.6

Para escrever $- \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.4.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (3 x y + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.7.1

Multiplique $\frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2} x}{(3 x y + 2) x}$

Etapa 5.4.3.7.2

Reordene os fatores de $(3 x y + 2) x$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 (2 x - y) - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{2 (2 x) + 2 (- y) - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' = \frac{4 x + 2 (- y) - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Etapa 5.4.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = \frac{4 x - 2 y - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - 2 y - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$