Cálculo Exemplos

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 5 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

Etapa 3.2.9

Some $6 x - 5$ e $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Etapa 3.3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 2$ mais $- 3$

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

Etapa 3.3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

Etapa 3.3.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 2$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $6 x - 5$ por $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ .

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$