Cálculo Exemplos

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

Etapa 2

Como $a$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $a$ em relação a $z$ é $0$ .

$0$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

Etapa 3.2.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.2.1

Combine $y^{0.6}$ e $\frac{5}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

Etapa 3.2.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $y^{0.6}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

Etapa 3.2.2.3

Combine $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ e $z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

Etapa 3.2.3

Como $\frac{5}{x^{0.3}}$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ em relação a $z$ é $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = y^{0.6}$ e $g (z) = z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Etapa 3.4.2

Multiplique $y^{0.6}$ por $1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = z^{0.6}$ e $g (z) = y$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 0.6$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Etapa 3.6

Mova $0.6$ para a esquerda de $z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

Etapa 3.7

Reescreva $\frac{d}{d z} [y]$ como $y'$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

Etapa 3.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Etapa 3.9.2

Combine os termos.

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Etapa 3.9.2.1

Combine $\frac{5}{x^{0.3}}$ e $y^{0.6}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Etapa 3.9.2.2

Combine $0.6$ e $\frac{1}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

Etapa 3.9.2.3

Combine $z$ e $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

Etapa 3.9.2.4

Mova $0.6$ para a esquerda de $z$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

Etapa 3.9.2.5

Combine $\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ e $y'$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

Etapa 3.9.2.6

Multiplique $\frac{5}{x^{0.3}}$ por $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Etapa 3.9.2.7

Multiplique $0.6$ por $5$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Etapa 3.9.3

Reordene os termos.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum de $x^{0.3} y^{0.4}$ .

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Etapa 5.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Etapa 5.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.1

Simplifique $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{0.3}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ para o numerador.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Fatore $x^{0.3}$ de $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Etapa 5.4.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $y^{0.6}$ por $y^{0.4}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.2.1.2.1

Mova $y^{0.4}$ .

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

Etapa 5.4.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

Etapa 5.4.2.1.2.3

Some $0.4$ e $0.6$ .

$3 z y' = - 5 y^{1}$

Etapa 5.4.2.1.3

Simplifique $- 5 y^{1}$ .

$3 z y' = - 5 y$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $3 z y' = - 5 y$ por $3 z$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $3 z y' = - 5 y$ por $3 z$ .

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $z$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $3$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Fatore $1$ de $- 5 y$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

Etapa 5.5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.1.2.1

Fatore $1$ de $3 z$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Etapa 5.5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Etapa 5.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d z}$ .

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$