Cálculo Exemplos

$x^{3} - t x^{2} - 4 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (x^{3} - t x^{2} - 4) = \frac{d}{d t} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - t x^{2} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [- t x^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [- t x^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t x^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t x^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t x^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d t} [- t x^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- t x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t x^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t x^{2}]$ .

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d t} [t x^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = x^{2}$ .

$3 x^{2} x' - (t \frac{d}{d t} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$3 x^{2} x' - (t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [x]) + x^{2} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} x' - (t (2 u_{2} \frac{d}{d t} [x]) + x^{2} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$3 x^{2} x' - (t (2 x \frac{d}{d t} [x]) + x^{2} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' - (t (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} x' - (t (2 x x') + x^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$3 x^{2} x' - (2 \cdot t x x' + x^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} x' - (2 t x x' + x^{2}) + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 2.4

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 x^{2} x' - (2 t x x' + x^{2}) + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x' - (2 t x x') - x^{2} + 0$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} x' - 2 (t x x') - x^{2} + 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $3 x^{2} x' - 2 t x x' - x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} x' - 2 t x x' - x^{2}$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$- x^{2} + 3 x^{2} x' - 2 t x x'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0$ em relação a $t$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x^{2} + 3 x^{2} x' - 2 t x x' = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} x' - 2 t x x' = x^{2}$

Etapa 5.2

Fatore $x x'$ de $3 x^{2} x' - 2 t x x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$x x' (3 x) - 2 t x x' = x^{2}$

Etapa 5.2.2

Fatore $x x'$ de $- 2 t x x'$ .

$x x' (3 x) + x x' (- 2 t) = x^{2}$

Etapa 5.2.3

Fatore $x x'$ de $x x' (3 x) + x x' (- 2 t)$ .

$x x' (3 x - 2 t) = x^{2}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x x' (3 x - 2 t) = x^{2}$ por $x (3 x - 2 t)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x x' (3 x - 2 t) = x^{2}$ por $x (3 x - 2 t)$ .

$\frac{x x' (3 x - 2 t)}{x (3 x - 2 t)} = \frac{x^{2}}{x (3 x - 2 t)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x x' (3 x - 2 t)}{x (3 x - 2 t)} = \frac{x^{2}}{x (3 x - 2 t)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (3 x - 2 t)}{3 x - 2 t} = \frac{x^{2}}{x (3 x - 2 t)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $3 x - 2 t$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (3 x - 2 t)}{3 x - 2 t} = \frac{x^{2}}{x (3 x - 2 t)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{x (3 x - 2 t)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x' = \frac{x \cdot x}{x (3 x - 2 t)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{x \cdot x}{x (3 x - 2 t)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{x}{3 x - 2 t}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{3 x - 2 t}$