Cálculo Exemplos

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

Etapa 2

A derivada de $x$ em relação a $t$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2} + 1$ e $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.3.4

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

Etapa 3.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

Etapa 3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

Etapa 3.10.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Etapa 3.10.2.2

Subtraia $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Etapa 3.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

Etapa 3.10.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t$ e $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Etapa 5

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$