Cálculo Exemplos

$w = {(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3})$

Etapa 2

A derivada de $w$ em relação a $x$ é $w'$ .

$w'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 4)}^{3}$ e $g (x) = {(x - 4)}^{- 3}$ .

${(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}] + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 4$ .

${(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(x - 4)}^{- 3}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.5.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + 0)$

Etapa 3.5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.5.1

Some $1$ e $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \cdot 1$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6.3

Combine os termos.

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Etapa 3.6.3.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ .

${(x + 4)}^{3} \frac{- 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(x + 4)}^{3} (- \frac{3}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6.3.3

Combine ${(x + 4)}^{3}$ e $\frac{3}{{(x - 4)}^{4}}$ .

$- \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6.3.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(x + 4)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6.3.5

Combine $3$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Etapa 3.6.3.6

Combine $\frac{3}{{(x - 4)}^{3}}$ e ${(x + 4)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3.6.3.7

Para escrever $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Etapa 3.6.3.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(x - 4)}^{4}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.6.3.8.1

Multiplique $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} (x - 4)}$

Etapa 3.6.3.8.2

Multiplique ${(x - 4)}^{3}$ por $x - 4$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.3.8.2.1

Multiplique ${(x - 4)}^{3}$ por $x - 4$ .

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Etapa 3.6.3.8.2.1.1

Eleve $x - 4$ à potência de $1$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} {(x - 4)}^{1}}$

Etapa 3.6.3.8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3 + 1}}$

Etapa 3.6.3.8.2.2

Some $3$ e $1$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.4.1

Fatore $3 {(x + 4)}^{2}$ de $- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ .

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Etapa 3.6.4.1.1

Fatore $3 {(x + 4)}^{2}$ de $- 3 {(x + 4)}^{3}$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.1.2

Fatore $3 {(x + 4)}^{2}$ de $3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4) + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 1 \cdot 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.4

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (0 - 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.5

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.6

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.7

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{- 24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 3.6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$w' = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 5

Substitua $w'$ por $\frac{d w}{d x}$ .

$\frac{d w}{d x} = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$