Cálculo Exemplos

$V = (15 - x) (8 - x) x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} ((15 - x) (8 - x) x)$

Etapa 2

A derivada de $V$ em relação a $x$ é $V'$ .

$V'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = (15 - x) (8 - x)$ e $g (x) = x$ .

$(15 - x) (8 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Etapa 3.2.2

Multiplique $15 - x$ por $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 15 - x$ e $g (x) = 8 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \cdot - 1 + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $15 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.6.3

Reescreva $- 1 (15 - x)$ como $- (15 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Etapa 3.4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 3.4.8

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 3.4.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.4.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- 1 \cdot 1))$

Etapa 3.4.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.12.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \cdot - 1)$

Etapa 3.4.12.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $8 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - 1 \cdot (8 - x))$

Etapa 3.4.12.3

Reescreva $- 1 (8 - x)$ como $- (8 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - (8 - x))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - (8 - x))$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - 1 \cdot 8 - - x)$

Etapa 3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(15 - x) \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7

Combine os termos.

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Etapa 3.5.7.1

Multiplique $15$ por $8$ .

$120 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$120 - 8 x + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.3

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$120 - 8 x - 15 x - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$120 - 8 x - 15 x + 1 x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$120 - 8 x - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.9

Some $1$ e $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.10

Subtraia $15 x$ de $- 8 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.11

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x \cdot - 15 + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.12

Mova $- 15$ para a esquerda de $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 \cdot x + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x (1 x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.14

Multiplique $x$ por $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.18

Some $1$ e $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.19

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x \cdot - 8 + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.20

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 \cdot x + x (- - x)$

Etapa 3.5.7.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x (1 x)$

Etapa 3.5.7.22

Multiplique $x$ por $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x \cdot x$

Etapa 3.5.7.23

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x$

Etapa 3.5.7.24

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x^{1}$

Etapa 3.5.7.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1 + 1}$

Etapa 3.5.7.26

Some $1$ e $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{2}$

Etapa 3.5.7.27

Subtraia $8 x$ de $- 15 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x^{2} - 23 x + x^{2}$

Etapa 3.5.7.28

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$120 - 23 x + x^{2} + 2 x^{2} - 23 x$

Etapa 3.5.7.29

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$120 - 23 x + 3 x^{2} - 23 x$

Etapa 3.5.7.30

Subtraia $23 x$ de $- 23 x$ .

$120 + 3 x^{2} - 46 x$

Etapa 3.5.8

Reordene os termos.

$3 x^{2} - 46 x + 120$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$V' = 3 x^{2} - 46 x + 120$

Etapa 5

Substitua $V'$ por $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 3 x^{2} - 46 x + 120$