Cálculo Exemplos

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

Etapa 2

A derivada de $v'$ em relação a $t$ é $v''$ .

$v''$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 1 - t$ e $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + t^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 3.3.7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 3.3.8

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 3.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.3.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Etapa 3.3.11.2

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 3.3.11.3

Reescreva $- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ como $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

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Etapa 3.4.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.3

Combine $t$ e $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.5

Para escrever $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.6

Combine $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ e $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

Etapa 3.4.4

Reordene os termos.

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.5.1

Fatore $- 1$ de $- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

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Etapa 3.4.5.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 3.4.5.1.1.1

Reordene $1$ e $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.1.1.2

Reordene $1$ e $- t$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.1.1.3

Reordene $1$ e $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.1.2

Fatore $- 1$ de $- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.1.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.1.4

Fatore $- 1$ de $- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.2

Cancele o fator comum de $t^{2} + 1$ .

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Etapa 3.4.5.2.1

Fatore $t^{2} + 1$ de ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $- t + 1$ por $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $- t + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.7

Reordene os termos.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.8

Reescreva $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.4.5.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.8.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.8.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.5.8.4.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.8.4.1.1

Mova $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.8.4.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.8.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.5.8.5

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ .

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Etapa 3.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{t^{2} + 1}$ por $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

Etapa 3.4.7.2

Eleve $t^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

Etapa 3.4.7.3

Eleve $t^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 3.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.8

Fatore $- 1$ de $- t^{2}$ .

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.9

Fatore $- 1$ de $2 t$ .

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.10

Fatore $- 1$ de $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.11

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.12

Fatore $- 1$ de $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.13

Reescreva $- (t^{2} - 2 t - 1)$ como $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ .

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.16

Multiplique $\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $v'$ por $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$