Cálculo Exemplos

$s = \sqrt{3 + 6 t}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 + 6 t}$ como ${(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 3 + 6 t$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + 6 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + 6 t$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 6 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [6 t]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Etapa 4.8

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [6 t])$

Etapa 4.9

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t]$

Etapa 4.10

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.11

Simplifique os termos.

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Etapa 4.11.1

Combine $6$ e $\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.11.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore $2$ de $2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.14.1

Multiplique $\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.2

Reordene os termos.

$\frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = \frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$