Cálculo Exemplos

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

Etapa 1

Reescreva o lado direito com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 u' - 9}$ como ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 3

A derivada de $u$ em relação a $u'$ é $u'$ .

$u'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ é $f' (g (u')) g' (u')$ , em que $f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ e $g (u') = 2 u' - 9$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 u' - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 u' - 9$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{4}$ e ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 u' - 9$ com relação a $u'$ é $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Etapa 4.8

Como $2$ é constante em relação a $u'$ , a derivada de $2 u'$ em relação a $u'$ é $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ é $n {u'}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Etapa 4.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Etapa 4.11

Como $- 9$ é constante em relação a $u'$ , a derivada de $- 9$ em relação a $u'$ é $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

Etapa 4.12

Simplifique os termos.

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Etapa 4.12.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

Etapa 4.12.2

Combine $\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 4.12.3

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 4.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.13.1

Fatore $2$ de $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Etapa 4.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Etapa 4.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 6

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$u' \approx 4.52650004$

Etapa 7

Substitua $u'$ por $\frac{d u}{d v}$ .

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$