Cálculo Exemplos

$P = \frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}})$

Etapa 2

A derivada de $P$ em relação a $t$ é $P'$ .

$P'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Como $40$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ em relação a $t$ é $40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$ .

$40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$

Etapa 3.1.2

Reescreva $\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ como ${(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}$ .

$40 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

$40 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$40 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

$40 (- {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $40$ .

$- 40 ({(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$

Etapa 3.3.5

Como $11$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $11 e^{- 0.08 t}$ em relação a $t$ é $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}])$

Etapa 3.3.6

Multiplique $11$ por $- 40$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 0.08 t$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 0.08 t$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 0.08 t$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $- 0.08$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.08 t$ em relação a $t$ é $- 0.08 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (- 0.08 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 0.08$ por $- 440$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \cdot 1)$

Etapa 3.5.4

Multiplique $e^{- 0.08 t}$ por $1$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reordene os fatores de $35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$ .

$35.2 e^{- 0.08 t} {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ .

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Etapa 3.6.3.1

Combine $\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ e $35.2$ .

$\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}} e^{- 0.08 t}$

Etapa 3.6.3.2

Combine $\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ e $e^{- 0.08 t}$ .

$\frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$P' = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $P'$ por $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$