Cálculo Exemplos

$s = (\frac{1}{3}) t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Etapa 1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $t^{3}$ .

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5)$

Etapa 3

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{1}{3} t^{3}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.2.5.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d t} [49 t]$ .

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Etapa 4.4.1

Como $49$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $49 t$ em relação a $t$ é $49 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.4.3

Multiplique $49$ por $1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + \frac{d}{d t} [5]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.5.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5$ em relação a $t$ é $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + 0$

Etapa 4.5.2

Some $t^{2} - 14 t + 49$ e $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = t^{2} - 14 t + 49$

Etapa 6

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{2} - 14 t + 49$