Cálculo Exemplos

$s = \frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)})$

Etapa 2

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = 1 + \sec (t)$ e $g (t) = 1 - \sec (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 + \sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sec (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.3

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\sec (t) \tan (t)) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sec (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [- \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \sec (t)$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (- \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.4.5

Multiplique.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + 1 (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $1 + \sec (t)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.5

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) (\sec (t) \tan (t))}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 \sec (t) - \sec (t) \sec (t)) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 \sec (t) + \sec (t) \sec (t)) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.5.1

Combine os termos opostos em $1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

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Etapa 3.6.5.1.1

Some $- \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ e $\sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + 0}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.5.1.2

Some $1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)$ e $0$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.5.2.1

Multiplique $\sec (t)$ por $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.5.2.2

Multiplique $\sec (t)$ por $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 3.6.5.3

Some $\sec (t) \tan (t)$ e $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$