Cálculo Exemplos

$x \ln (y) + 6 y = 3 x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 6 y) = \frac{d}{d x} (3 x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \ln (y) + 6 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.6

Combine $x$ e $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\ln (y)$ por $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [6 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 y$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, y, 1, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ por $y$ .

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 y' y + x y' + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Etapa 5.2.2.2

Reordene os fatores em $6 y' y + x y' + \ln (y) y$ .

$6 y' y + x y' + y \ln (y) = 9 x^{2} y$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y \ln (y)$ dos dois lados da equação.

$6 y' y + x y' = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $6 y' y + x y'$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $6 y' y$ .

$y' (6 y) + x (y') = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' (6 y) + y' (x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' (6 y) + y' (x)$ .

$y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ por $6 y + x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ por $6 y + x$ .

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6 y + x$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{9 x^{2} y - y \ln (y)}{6 y + x}$

Etapa 5.3.3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.3.2.1

Fatore $y$ de $9 x^{2} y - y \ln (y)$ .

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Etapa 5.3.3.3.2.1.1

Fatore $y$ de $9 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) - y \ln (y)}{6 y + x}$

Etapa 5.3.3.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- y \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Etapa 5.3.3.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Etapa 5.3.3.3.2.2

Reescreva $- 1 \ln (y)$ como $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$