Cálculo Exemplos

$q = \sqrt[3]{r} + \frac{6}{r}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{r}$ como $r^{\frac{1}{3}}$ .

$q = r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r})$

Etapa 3

A derivada de $q$ em relação a $r$ é $q'$ .

$q'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$ .

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Etapa 4.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $6$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $\frac{6}{r}$ em relação a $r$ é $6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$

Etapa 4.3.2

Reescreva $\frac{1}{r}$ como $r^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [r^{- 1}]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 (- r^{- 2})$

Etapa 4.3.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} - 6 r^{- 2}$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 r^{- 2}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Etapa 4.4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.4.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Etapa 4.4.3.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 6}{r^{2}}$

Etapa 4.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{r^{2}}$

Etapa 4.4.4

Reordene os termos.

$- \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$q' = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $q'$ por $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$