Cálculo Exemplos

$x = \frac{3 r + 2}{2 r + 3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d r} (x) = \frac{d}{d r} (\frac{3 r + 2}{2 r + 3})$

Etapa 2

A derivada de $x$ em relação a $r$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ é $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , em que $f (r) = 3 r + 2$ e $g (r) = 2 r + 3$ .

$\frac{(2 r + 3) \frac{d}{d r} [3 r + 2] - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 r + 2$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$\frac{(2 r + 3) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $3 r$ em relação a $r$ é $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $2$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $2$ em relação a $r$ é $0$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + 0) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(2 r + 3) \cdot 3 - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $2 r + 3$ .

$\frac{3 \cdot (2 r + 3) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 r + 3$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $2$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $2 r$ em relação a $r$ é $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Como $3$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $3$ em relação a $r$ é $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + 0)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.12.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Combine os termos opostos em $3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $3 (2 r)$ e $- 2 (3 r)$ .

$\frac{2 \cdot 3 r + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 r - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Subtraia $2 \cdot 3 r$ de $2 \cdot 3 r$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Some $3 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{9 - 4}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Subtraia $4$ de $9$ .

$\frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d r}$ .

$\frac{d x}{d r} = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$