Cálculo Exemplos

$P = 9 t^{5} \ln (8 t)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (9 t^{5} \ln (8 t))$

Etapa 2

A derivada de $P$ em relação a $t$ é $P'$ .

$P'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t^{5} \ln (8 t)$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t^{5} \ln (8 t)]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{5} \ln (8 t)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{5}$ e $g (t) = \ln (8 t)$ .

$9 (t^{5} \frac{d}{d t} [\ln (8 t)] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 8 t$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 t$ .

$9 (t^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$9 (t^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 t$ .

$9 (t^{5} (\frac{1}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Combine $\frac{1}{8 t}$ e $t^{5}$ .

$9 (\frac{t^{5}}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $t^{5}$ e $t$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $t$ de $t^{5}$ .

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Fatore $t$ de $8 t$ .

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$9 (\frac{t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.3

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8 t$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 (\frac{t^{4}}{8} (8 \frac{d}{d t} [t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.4.1

Combine $8$ e $\frac{t^{4}}{8}$ .

$9 (\frac{8 t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.4.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{8 t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $t^{4}$ por $1$ .

$9 (t^{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (t^{4} \cdot 1 + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.6

Multiplique $t^{4}$ por $1$ .

$9 (t^{4} + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Etapa 3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$9 (t^{4} + \ln (8 t) (5 t^{4}))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 t^{4} + 9 (\ln (8 t) (5 t^{4}))$

Etapa 3.5.2

Multiplique $5$ por $9$ .

$9 t^{4} + 45 \ln (8 t) t^{4}$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$P' = 9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$

Etapa 5

Substitua $P'$ por $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = 9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$