Cálculo Exemplos

$p = {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} ({(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10})$

Etapa 2

A derivada de $p$ em relação a $q$ é $p'$ .

$p'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ é $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ , em que $f (q) = {(5 q^{2} - 4)}^{5}$ e $g (q) = {(2 q + 3)}^{10}$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} \frac{d}{d q} [{(2 q + 3)}^{10}] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ é $f' (g (q)) g' (q)$ , em que $f (q) = q^{10}$ e $g (q) = 2 q + 3$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Mova $10$ para a esquerda de ${(5 q^{2} - 4)}^{5}$ .

$10 \cdot {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 q + 3$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $2 q$ em relação a $q$ é $2 \frac{d}{d q} [q]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3.6

Como $3$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $3$ em relação a $q$ é $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + 0) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \cdot 2 + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ é $f' (g (q)) g' (q)$ , em que $f (q) = q^{5}$ e $g (q) = 5 q^{2} - 4$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Mova $5$ para a esquerda de ${(2 q + 3)}^{10}$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 \cdot {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4]$

Etapa 3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 q^{2} - 4$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Etapa 3.5.3

Como $5$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $5 q^{2}$ em relação a $q$ é $5 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 \frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Etapa 3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 (2 q) + \frac{d}{d q} [- 4])$

Etapa 3.5.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + \frac{d}{d q} [- 4])$

Etapa 3.5.6

Como $- 4$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $- 4$ em relação a $q$ é $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + 0)$

Etapa 3.5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.7.1

Some $10 q$ e $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q)$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique $10$ por $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Fatore $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ .

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9}$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Etapa 3.6.1.2

Fatore $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Etapa 3.6.2

Reordene os fatores de $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$ .

$10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$p' = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Etapa 5

Substitua $p'$ por $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$