Cálculo Exemplos

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (r) + \cot (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = r$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [r]$ como $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 2.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = r x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = r$ e $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Etapa 3.3.2

Multiplique $r$ por $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [r]$ como $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5

Resolva $r'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5.1.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5.1.1.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5.1.1.2.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5.1.1.2.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5.1.1.3

Reordene os fatores em $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm $r'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $x r' e^{r x}$ dos dois lados da equação.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Etapa 5.3.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Etapa 5.3.3.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Etapa 5.4

Some $\csc^{2} (x)$ aos dois lados da equação.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Etapa 5.5

Fatore $r'$ de $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $r'$ de $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Etapa 5.5.2

Fatore $r'$ de $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Etapa 5.5.3

Fatore $r'$ de $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1 \sin (r)$ como $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ por $- \sin (r) - x e^{r x}$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ por $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Etapa 5.7.2.1.2

Divida $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.3.1.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Etapa 5.7.3.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Etapa 5.7.3.1.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Etapa 5.7.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Etapa 5.7.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Etapa 5.7.3.2

Para escrever $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Etapa 5.7.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.7.3.3.1

Multiplique $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Etapa 5.7.3.3.2

Reordene os fatores de $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Etapa 5.7.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Etapa 5.7.3.5

Fatore $- 1$ de $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Etapa 5.7.3.6

Fatore $- 1$ de $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Etapa 5.7.3.7

Fatore $- 1$ de $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Etapa 5.7.3.8

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.7.3.8.1

Reescreva $- (\sin (r) + x e^{r x})$ como $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Etapa 5.7.3.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Etapa 6

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$