Cálculo Exemplos

$r = 7 \ln (\sqrt[3]{t})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$r = 7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (7 \ln (t^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 3

A derivada de $r$ em relação a $t$ é $r'$ .

$r'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.3.1

Combine $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ e $7$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.10

Multiplique $\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Etapa 4.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.11.1

Mova $3$ para a esquerda de $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot t^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.11.2

Mova $t^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.12

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.12.1

Multiplique $t^{\frac{1}{3}}$ por $t^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.1.1

Mova $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 4.12.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Etapa 4.12.1.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 4.12.1.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{7}{3 t^{1}}$

Etapa 4.12.2

Simplifique $3 t^{1}$ .

$\frac{7}{3 t}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$r' = \frac{7}{3 t}$

Etapa 6

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d t}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{7}{3 t}$