Cálculo Exemplos

$r = (2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1

Reescreva o lado direito com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Remova os parênteses.

$r = 2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $r$ em relação a $x$ é $r'$ .

$r'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = \tan (2 x - 1)$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (2 x - 1)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (2 x - 1)$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.7

Combine $\frac{3}{2}$ e ${\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Etapa 4.8

Combine $\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Etapa 4.9

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Etapa 4.10

Fatore $2$ de $6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Etapa 4.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Etapa 4.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Etapa 4.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Etapa 4.11.4

Divida $3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 4.12.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x - 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Etapa 4.12.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Etapa 4.12.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Etapa 4.13

Diferencie.

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Etapa 4.13.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.13.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.13.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.13.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.13.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + 0)$

Etapa 4.13.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.13.6.1

Some $2$ e $0$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) \cdot 2$

Etapa 4.13.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$r' = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

Etapa 6

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$