Cálculo Exemplos

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

Etapa 2

A derivada de $r$ em relação a $M$ é $r'$ .

$r'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ é $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ , em que $f (M) = M^{2}$ e $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ com relação a $M$ é $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{c}{2}$ é constante em relação a $M$ , a derivada de $\frac{c}{2}$ em relação a $M$ é $0$ .

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2.4

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $M$ , a derivada de $- \frac{M}{3}$ em relação a $M$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ .

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2.5

Combine $M^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ é $n M^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ é $n M^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

Etapa 3.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

Etapa 3.3

Combine $- \frac{M^{2}}{3}$ e $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ usando um denominador comum.

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Etapa 3.3.1

Reordene $- \frac{M^{2}}{3}$ e $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

Etapa 3.3.2

Para escrever $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Etapa 3.3.3

Combine $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Etapa 3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{M}{3}$ para o numerador.

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Fatore $3$ de $6 M$ .

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.3

Eleve $M$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.4

Eleve $M$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.7.1

Fatore $2$ de $6 M$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $M^{2}$ de $- 2 M^{2}$ .

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

Etapa 3.5.3

Fatore $3 M$ de $- 3 M^{2} + 3 M c$ .

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Etapa 3.5.3.1

Fatore $3 M$ de $- 3 M^{2}$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

Etapa 3.5.3.2

Fatore $3 M$ de $3 M c$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

Etapa 3.5.3.3

Fatore $3 M$ de $3 M (- M) + 3 M (c)$ .

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Etapa 3.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Etapa 3.5.4.2

Divida $M (- M + c)$ por $1$ .

$M (- M + c)$

Etapa 3.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$M (- M) + M c$

Etapa 3.5.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- M \cdot M + M c$

Etapa 3.5.7

Multiplique $M$ por $M$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1

Mova $M$ .

$- (M \cdot M) + M c$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique $M$ por $M$ .

$- M^{2} + M c$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$r' = - M^{2} + M c$

Etapa 5

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d M}$ .

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$