Cálculo Exemplos

$r = (10 + \sec (x)) \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} ((10 + \sec (x)) \sin (x))$

Etapa 2

A derivada de $r$ em relação a $x$ é $r'$ .

$r'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 10 + \sec (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$(10 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [10 + \sec (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [10 + \sec (x)]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 + \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.3.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.3.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.3.1.1

Reordene $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva $\cos (x) \sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.1.3

Cancele os fatores comuns.

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.3

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.4

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 3.5.3.5.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5.9

Some $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.4

Converta de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ em $\tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.5

Reorganize os termos.

$\tan^{2} (x) + 1 + 10 \cos (x)$

Etapa 3.5.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sec^{2} (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$r' = \sec^{2} (x) + 10 \cos (x)$

Etapa 5

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = \sec^{2} (x) + 10 \cos (x)$