Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - 6 x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [1 - 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 (2 x)) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + 0)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.13

Some $4 x^{3} - 12 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 12 x^{4} x - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- 12 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 12 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 12 x^{1 + 4} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{2} x + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{1 + 2} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.6

Multiplique $- 12$ por $5$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.7.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.8

Expanda $(- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.3.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3} - 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.3.1.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.9.1.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.9.1.4.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{3 + 2} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.4.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.5

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{2} x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.9.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1.9.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{1 + 2}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.1.8

Multiplique $6$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} - 72 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.9.2

Subtraia $72 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x + 24 x^{5}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Some $- 12 x^{5}$ e $24 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Subtraia $76 x^{3}$ de $72 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 60 x + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.4

Some $- 60 x$ e $12 x$ .

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$