Cálculo Exemplos

$y = (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = \frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 10 x^{5} - 16 x^{2}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{5} - 16 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{5}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $5$ por $10$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.6

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 (2 x)) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.8

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 4.2.10

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.2.10.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 4.2.10.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

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Etapa 4.2.10.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} (50 x^{4} - 32 x)$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 4.2.10.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 4.2.10.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 4.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 4.4

Fatore $x$ de $x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $x$ de $- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $x$ de $x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Etapa 4.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Etapa 4.6

Fatore $x$ de $50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $x$ de $50 x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{3}) - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Etapa 4.6.2

Fatore $x$ de $- 32 x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Etapa 4.6.3

Fatore $x$ de $- 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Etapa 4.6.4

Fatore $x$ de $x (50 x^{3}) + x \cdot - 32$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Etapa 4.6.5

Fatore $x$ de $x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Etapa 4.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.7.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Etapa 4.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Etapa 4.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16)}{x^{2}}$

Etapa 4.8

Simplifique.

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Etapa 4.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3}) - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Etapa 4.8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.8.2.1.1

Multiplique $10$ por $- 3$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Etapa 4.8.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 16$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} + 48}{x^{2}}$

Etapa 4.8.2.2

Subtraia $30 x^{3}$ de $50 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} - 32 + 48}{x^{2}}$

Etapa 4.8.2.3

Some $- 32$ e $48$ .

$\frac{20 x^{3} + 16}{x^{2}}$

Etapa 4.8.3

Fatore $4$ de $20 x^{3} + 16$ .

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Etapa 4.8.3.1

Fatore $4$ de $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 16}{x^{2}}$

Etapa 4.8.3.2

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 4 (4)}{x^{2}}$

Etapa 4.8.3.3

Fatore $4$ de $4 (5 x^{3}) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$