Cálculo Exemplos

$y = \frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.2

Reordene os termos.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.3.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.8.3.1.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3.1.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3.1.3

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3.2

Fatore $- 1$ de $- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$ .

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Etapa 3.8.3.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- \cos (x) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{2 \sin (x) \cdot - 1 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 3.8.3.3.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.3.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 (\sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e $\sin^{4} (x)$ .

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Etapa 3.8.4.1

Fatore $\sin (x)$ de $- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3.8.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.8.4.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.5.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{- 2 (\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 (2 \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.3

Multiplique $2 \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.8.5.1.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 (2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.4

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.6

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.2

Combine os termos opostos em $2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 3.8.5.2.1

Reorganize os fatores nos termos $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ e $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.2.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ de $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\frac{- 2 (0 + \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.5.2.3

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 3.8.6

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.7

Separe as frações.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.8.8

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Etapa 3.8.9

Multiplique por $1$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x) \cdot 1} \cot (x)$

Etapa 3.8.10

Separe as frações.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Etapa 3.8.11

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ em $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 3.8.12

Divida $- 2$ por $1$ .

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$