Cálculo Exemplos

$y = {(a x + b)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} ({(a x + b)}^{2})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $b$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva ${(a x + b)}^{2}$ como $(a x + b) (a x + b)$ .

$\frac{d}{d b} [(a x + b) (a x + b)]$

Etapa 3.2

Expanda $(a x + b) (a x + b)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d b} [a x (a x + b) + b (a x + b)]$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x + b)]$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.1.1

Mova $a$ .

$\frac{d}{d b} [a \cdot a x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Etapa 3.3.1.1.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} (x \cdot x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $b$ por $b$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b a x + b^{2}]$

Etapa 3.3.2

Reordene $b$ e $a$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a b x + a b x + b^{2}]$

Etapa 3.3.3

Some $a b x$ e $a b x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}$ com relação a $b$ é $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Etapa 3.5

Como $a^{2} x^{2}$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $a^{2} x^{2}$ em relação a $b$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Etapa 3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d b} [2 a b x]$ .

$\frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Etapa 3.7

Como $2 a x$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $2 a b x$ em relação a $b$ é $2 a x \frac{d}{d b} [b]$ .

$2 a x \frac{d}{d b} [b] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 a x \cdot 1 + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 a x + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 a x + 2 b$

Etapa 3.11

Reordene os termos.

$2 b + 2 a x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 b + 2 a x$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = 2 b + 2 a x$