Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{x^{6}}{12}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{6} \ln (x)}{12}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.6

Combine $x^{6}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.7

Cancele o fator comum de $x^{6}$ e $x$ .

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Etapa 3.2.7.1

Fatore $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.7.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.7.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.7.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.2.7.2.5

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- \frac{1}{72}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{6}}{72}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} (6 x^{5})$

Etapa 3.3.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{72}) x^{5}$

Etapa 3.3.4

Combine $- 6$ e $\frac{1}{72}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{72} x^{5}$

Etapa 3.3.5

Combine $\frac{- 6}{72}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{72}$

Etapa 3.3.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $72$ .

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Etapa 3.3.6.1

Fatore $6$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{72}$

Etapa 3.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.6.2.1

Fatore $6$ de $72$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (12)}$

Etapa 3.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 12}$

Etapa 3.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{12}$

Etapa 3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{1}{12} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x)}{12} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.2

Combine $6$ e $\frac{\ln (x)}{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{12} x^{5} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.3

Combine $\frac{6 \ln (x)}{12}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

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Etapa 3.4.2.4.1

Fatore $6$ de $6 \ln (x) x^{5}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.4.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x) x^{5}}{2} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.5

Para escrever $\frac{1}{12} x^{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{1}{12} x^{5} \cdot \frac{12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.6

Combine $\frac{1}{12} x^{5}$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.8

Combine $\frac{1}{12}$ e $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5}}{12} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.9

Combine $\frac{x^{5}}{12}$ e $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 12}{12} - x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.10

Mova $12$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 \cdot x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.11

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 3.4.2.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.11.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{x^{5} - x^{5}}{12}$

Etapa 3.4.2.12

Subtraia $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{12}$

Etapa 3.4.2.13

Cancele o fator comum de $0$ e $12$ .

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Etapa 3.4.2.13.1

Fatore $12$ de $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 (0)}{12}$

Etapa 3.4.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.13.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{1}$

Etapa 3.4.2.13.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + 0$

Etapa 3.4.2.14

Some $\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$\frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$