Cálculo Exemplos

$e^{x - y} = \ln (x - y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{x - y}) = \frac{d}{d x} (\ln (x - y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$\frac{1}{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - y')$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x - y} (1 - y')$ .

$(1 - y') \frac{1}{x - y}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $1 - y'$ por $\frac{1}{x - y}$ .

$\frac{1 - y'}{x - y}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{x - y} (1 - y') = \frac{1 - y'}{x - y}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $x - y$ .

$e^{x - y} (1 - y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $e^{x - y} (1 - y') (x - y)$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.1.1.1.2.1

Multiplique $e^{x - y}$ por $1$ .

$(e^{x - y} + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.2

Expanda $(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x - y} (x - y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.3.1.2

Multiplique $- e^{x - y} y' (- y)$ .

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Etapa 5.2.1.1.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + 1 e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.3.1.2.2

Multiplique $e^{x - y}$ por $1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.1.1.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y$ .

$x e^{x - y} - y e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.3.2.2

Mova $- y e^{x - y}$ .

$x e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.1.1.3.2.3

Mova $x e^{x - y}$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $\frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $x - y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = 1 - y'$

Etapa 5.2.2.1.2

Reordene $1$ e $- y'$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = - y' + 1$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Some $y'$ aos dois lados da equação.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1$

Etapa 5.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $x e^{x - y}$ dos dois lados da equação.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y}$

Etapa 5.3.2.2

Some $y e^{x - y}$ aos dois lados da equação.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y'$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $y'$ de $- y' x e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y) e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y'$ de $y' y e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.3.3

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $y'$ de $y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y})$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.3.6

Fatore $y'$ de $y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Etapa 5.3.5

Divida cada termo em $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ por $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Divida cada termo em $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ por $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

$\frac{y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1)}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

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Etapa 5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} - \frac{x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Etapa 5.3.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Etapa 5.3.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Etapa 5.3.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- x e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) + y e^{x - y} + 1}$

Etapa 5.3.5.3.5

Fatore $- 1$ de $y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y}) + 1}$

Etapa 5.3.5.3.6

Fatore $- 1$ de $- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y})$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) + 1}$

Etapa 5.3.5.3.7

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)}$

Etapa 5.3.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Etapa 5.3.5.3.9

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.3.5.3.9.1

Reescreva $- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ como $- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Etapa 5.3.5.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$