Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \ln (x y)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

Etapa 2.3.7

Combine $\frac{1}{x y}$ e $6$ .

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $x$ e $\frac{6}{x y}$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

Etapa 2.4.2.2

Combine $\frac{x \cdot 6}{x y}$ e $y'$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Etapa 2.4.2.3

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Etapa 2.4.2.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Etapa 2.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

Etapa 2.4.2.5

Combine $\frac{6}{x y}$ e $y$ .

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Etapa 2.4.2.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.4.2.6.1

Cancele o fator comum.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Etapa 2.4.2.6.2

Reescreva a expressão.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

Etapa 3

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $\frac{6}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Combine $y$ e $\frac{6}{x}$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $y$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ por $6$ .

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 4 x y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Etapa 5.4.3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 5.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.4.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6 y}{x}$ para o numerador.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Fatore $6$ de $- 6 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 5.4.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 5.4.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.4.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$