Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 u}{1 - 4 u}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (\frac{2 u}{1 - 4 u})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $u$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $\frac{2 u}{1 - 4 u}$ em relação a $u$ é $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$ .

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ é $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , em que $f (u) = u$ e $g (u) = 1 - 4 u$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $1 - 4 u$ por $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 u$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $1$ em relação a $u$ é $0$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (0 + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [- 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Como $- 4$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 4 u$ em relação a $u$ é $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (- 4 \frac{d}{d u} [u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \frac{d}{d u} [u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \cdot 1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.9.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.9.2

Some $- 4 u$ e $4 u$ .

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.9.3

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.9.4

Combine $2$ e $\frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Etapa 3.3.9.5

Reordene os termos.

$\frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d u}$ .

$\frac{d y}{d u} = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$