Cálculo Exemplos

$y = 5 t {(2 t + 3)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 t {(2 t + 3)}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t {(2 t + 3)}^{3}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 3)}^{3}] + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 2 t + 3$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t + 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t + 3$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.5

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.6.1

Some $2$ e $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 3.4.8

Multiplique ${(2 t + 3)}^{3}$ por $1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3})$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$30 (t ({(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Etapa 3.5.3

Fatore $5 {(2 t + 3)}^{2}$ de $30 t {(2 t + 3)}^{2} + 5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

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Etapa 3.5.3.1

Fatore $5 {(2 t + 3)}^{2}$ de $30 t {(2 t + 3)}^{2}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Etapa 3.5.3.2

Fatore $5 {(2 t + 3)}^{2}$ de $5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$

Etapa 3.5.3.3

Fatore $5 {(2 t + 3)}^{2}$ de $5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t + 2 t + 3)$

Etapa 3.5.4

Some $6 t$ e $2 t$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (8 t + 3)$

Etapa 3.5.5

Reescreva ${(2 t + 3)}^{2}$ como $(2 t + 3) (2 t + 3)$ .

$5 ((2 t + 3) (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.6

Expanda $(2 t + 3) (2 t + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (2 t (2 t + 3) + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1.2.1

Mova $t$ .

$5 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$5 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 (4 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 9) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.7.2

Some $6 t$ e $6 t$ .

$5 (4 t^{2} + 12 t + 9) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 (4 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.9

Simplifique.

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Etapa 3.5.9.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$(20 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.9.2

Multiplique $12$ por $5$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.9.3

Multiplique $5$ por $9$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$

Etapa 3.5.10

Expanda $(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$20 t^{2} (8 t) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$20 \cdot 8 t^{2} t + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.11.2.1

Mova $t$ .

$20 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.2.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 3.5.11.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$20 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 \cdot 8 t^{1 + 2} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$20 \cdot 8 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.3

Multiplique $20$ por $8$ .

$160 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.4

Multiplique $3$ por $20$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t \cdot t + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.6

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.11.6.1

Mova $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 (t \cdot t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.6.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.7

Multiplique $60$ por $8$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.8

Multiplique $3$ por $60$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.9

Multiplique $8$ por $45$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 45 \cdot 3$

Etapa 3.5.11.10

Multiplique $45$ por $3$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Etapa 3.5.12

Some $60 t^{2}$ e $480 t^{2}$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Etapa 3.5.13

Some $180 t$ e $360 t$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$