Cálculo Exemplos

$y = arccsc (e^{5 t})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccsc (e^{5 t}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = arccsc (t)$ e $g (t) = e^{5 t}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{5 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $arccsc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{5 t}$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{{(e^{5 t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{5 t})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{5 t \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 5 t$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 t$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 t$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Combine $e^{5 t}$ e $\frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}}$ .

$- \frac{e^{5 t}}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $e^{5 t}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{e^{5 t}}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Etapa 3.4.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Etapa 3.4.3

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} (5 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.4

Combine frações.

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Etapa 3.4.4.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.4.4.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$ .

$\frac{- 5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \cdot 1$

Etapa 3.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$