Cálculo Exemplos

$4 + 9 x = \sin (x y^{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 + 9 x) = \frac{d}{d x} (\sin (x y^{2}))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 2.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 9 \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$0 + 9$

Etapa 2.3

Some $0$ e $9$ .

$9$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x y^{2}$ .

$\cos (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$\cos (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\cos (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\cos (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\cos (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Etapa 3.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\cos (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x y^{2}) (2 x y y') + \cos (x y^{2}) y^{2}$

Etapa 3.8.2

Reordene os termos.

$2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2})$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$9 = 2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2})$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2}) = 9$ .

$2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2}) = 9$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2})$ .

$2 x y y' \cos (x y^{2}) + y^{2} \cos (x y^{2}) = 9$

Etapa 5.3

Subtraia $y^{2} \cos (x y^{2})$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' \cos (x y^{2}) = 9 - y^{2} \cos (x y^{2})$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 x y y' \cos (x y^{2}) = 9 - y^{2} \cos (x y^{2})$ por $2 x y \cos (x y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 x y y' \cos (x y^{2}) = 9 - y^{2} \cos (x y^{2})$ por $2 x y \cos (x y^{2})$ .

$\frac{2 x y y' \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y y' \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y y' \cos (x y^{2})}{x y \cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y y' \cos (x y^{2})}{x y \cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' \cos (x y^{2})}{y \cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' \cos (x y^{2})}{y \cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \cos (x y^{2})}{\cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2.4

Cancele o fator comum de $\cos (x y^{2})$ .

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Etapa 5.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cos (x y^{2})}{\cos (x y^{2})} = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.2.4.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Separe as frações.

$y' = \frac{9}{2 x y} \cdot \frac{1}{\cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x y^{2})}$ em $\sec (x y^{2})$ .

$y' = \frac{9}{2 x y} \sec (x y^{2}) + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.3

Combine $\frac{9}{2 x y}$ e $\sec (x y^{2})$ .

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.4.3.1.4.1

Fatore $y$ de $- y^{2} \cos (x y^{2})$ .

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} + \frac{y (- y \cos (x y^{2}))}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.4.2.1

Fatore $y$ de $2 x y \cos (x y^{2})$ .

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} + \frac{y (- y \cos (x y^{2}))}{y (2 x \cos (x y^{2}))}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} + \frac{y (- y \cos (x y^{2}))}{y (2 x \cos (x y^{2}))}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} + \frac{- y \cos (x y^{2})}{2 x \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.5

Cancele o fator comum de $\cos (x y^{2})$ .

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Etapa 5.4.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} + \frac{- y \cos (x y^{2})}{2 x \cos (x y^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} + \frac{- y}{2 x}$

Etapa 5.4.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} - \frac{y}{2 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 \sec (x y^{2})}{2 x y} - \frac{y}{2 x}$