Cálculo Exemplos

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.5

Combine $y$ e $\frac{2}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.6

Combine $\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ e $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.8

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 2.3.8.1

Fatore $y$ de $2 y y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.8.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, y, 1, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ por $y$ .

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $12 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 y'$ de $2 y' + 2 y' y$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $2 y'$ de $2 y'$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $2 y'$ de $2 y' y$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ .

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ por $2 (1 + y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ por $2 (1 + y)$ .

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

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Etapa 5.3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Etapa 5.3.3.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

Etapa 5.3.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

Etapa 5.3.3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Etapa 5.3.3.3.2.2

Fatore $y$ de $y - 6 x^{2} y$ .

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Etapa 5.3.3.3.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Etapa 5.3.3.3.2.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Etapa 5.3.3.3.2.2.3

Fatore $y$ de $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

Etapa 5.3.3.3.2.2.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$