Cálculo Exemplos

$x^{9} (x + y) = y^{2} (4 x - y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{9} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (4 x - y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = x + y$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{9} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$x^{9} (1 + y') + (x + y) (9 x^{8})$

Etapa 2.5

Mova $9$ para a esquerda de $x + y$ .

$x^{9} (1 + y') + 9 \cdot (x + y) x^{8}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 (x + y) x^{8}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + (9 x + 9 y) x^{8}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

Etapa 2.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Multiplique $x^{9}$ por $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

Etapa 2.6.4.2

Multiplique $x$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.2.1

Mova $x^{8}$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x) + 9 y x^{8}$

Etapa 2.6.4.2.2

Multiplique $x^{8}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x^{1}) + 9 y x^{8}$

Etapa 2.6.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8 + 1} + 9 y x^{8}$

Etapa 2.6.4.2.3

Some $8$ e $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{9} + 9 y x^{8}$

Etapa 2.6.4.3

Some $x^{9}$ e $9 x^{9}$ .

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 y x^{8}$

Etapa 2.6.5

Reordene os termos.

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = 4 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [4 x - y] + (4 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (4 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (4 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (4 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$y^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- y]) + (4 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (4 - \frac{d}{d x} [y]) + (4 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (4 - y') + (4 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$y^{2} (4 - y') + (4 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (4 - y') + (4 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$y^{2} (4 - y') + (4 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $4 x - y$ .

$y^{2} (4 - y') + 2 \cdot (4 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (4 - y') + 2 (4 x - y) y y'$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 4 + y^{2} (- y') + 2 (4 x - y) y y'$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 4 + y^{2} (- y') + (2 (4 x) + 2 (- y)) y y'$

Etapa 3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 4 + y^{2} (- y') + (2 (4 x) y + 2 (- y) y) y'$

Etapa 3.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 4 + y^{2} (- y') + 2 (4 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Etapa 3.7.5

Combine os termos.

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Etapa 3.7.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$4 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (4 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Etapa 3.7.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$4 y^{2} + y^{2} (- y') + 8 x y y' + 2 (- y) y y'$

Etapa 3.7.5.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 y^{2} + y^{2} (- y') + 8 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Etapa 3.7.5.4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$4 y^{2} + y^{2} (- y') + 8 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Etapa 3.7.5.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$4 y^{2} + y^{2} (- y') + 8 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Etapa 3.7.5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 y^{2} + y^{2} (- y') + 8 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Etapa 3.7.5.7

Some $1$ e $1$ .

$4 y^{2} + y^{2} (- y') + 8 x y y' - 2 y^{2} y'$

Etapa 3.7.5.8

Subtraia $2 y^{2} y'$ de $y^{2} (- y')$ .

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Etapa 3.7.5.8.1

Reordene $y^{2}$ e $- 1$ .

$4 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 8 x y y'$

Etapa 3.7.5.8.2

Subtraia $2 y^{2} y'$ de $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$4 y^{2} - 3 y^{2} y' + 8 x y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y = 4 y^{2} - 3 y^{2} y' + 8 x y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$4 y^{2} - 3 y^{2} y' + 8 x y y' = 10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

Etapa 5.2

Subtraia $x^{9} y'$ dos dois lados da equação.

$4 y^{2} - 3 y^{2} y' + 8 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y$

Etapa 5.3

Subtraia $4 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 3 y^{2} y' + 8 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y' + 8 x y y' - x^{9} y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + 8 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $8 x y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (8 x y) - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $- x^{9} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (8 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (- 3 y^{2}) + y' (8 x y)$ .

$y' (- 3 y^{2} + 8 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (- 3 y^{2} + 8 x y) + y' (- x^{9})$ .

$y' (- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$ por $- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}$ por $- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9})}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} + \frac{- 4 y^{2}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} + \frac{- 4 y^{2}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} - \frac{4 y^{2}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}} - \frac{4 y^{2}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}}$

Etapa 5.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{- 3 y^{2} + 8 x y - x^{9}}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 8 x y - x^{9}}$

Etapa 5.5.3.5

Fatore $- 1$ de $8 x y$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 8 x y) - x^{9}}$

Etapa 5.5.3.6

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2}) - (- 8 x y)$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{- (3 y^{2} - 8 x y) - x^{9}}$

Etapa 5.5.3.7

Fatore $- 1$ de $- x^{9}$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{- (3 y^{2} - 8 x y) - (x^{9})}$

Etapa 5.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2} - 8 x y) - (x^{9})$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{- (3 y^{2} - 8 x y + x^{9})}$

Etapa 5.5.3.9

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.5.3.9.1

Reescreva $- (3 y^{2} - 8 x y + x^{9})$ como $- 1 (3 y^{2} - 8 x y + x^{9})$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 8 x y + x^{9})}$

Etapa 5.5.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{3 y^{2} - 8 x y + x^{9}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 4 y^{2}}{3 y^{2} - 8 x y + x^{9}}$