Cálculo Exemplos

$6 \sqrt{y^{3} + 1} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y^{3} + 1}$ como ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y^{3} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y^{3} + 1$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{3} + 1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.12

Some $3 y^{2} y'$ e $0$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.14

Combine $3$ e $\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 (\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.15

Combine $y^{2}$ e $\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 (\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.16

Combine $\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ e $y'$ .

$6 \frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.17

Mova ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{y^{2} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.18

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$6 \frac{3 \cdot y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.19

Combine $6$ e $\frac{3 y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 (3 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.20

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{18 (y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.21

Fatore $2$ de $18 y^{2} y'$ .

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.22

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.22.1

Fatore $2$ de $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.22.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.22.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{1.5}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1.5$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $1.5$ por $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + 0$

Etapa 3.4.2

Some $\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$ e $0$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$

Etapa 4

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} = 0$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $3 x^{0.5}$ aos dois lados da equação.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{0.5}$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $9 y^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $9 y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Etapa 6.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Etapa 6.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Fatore $3$ de $3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{9 y^{2}}$

Etapa 6.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1

Fatore $3$ de $9 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

Etapa 6.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

Etapa 6.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$