Cálculo Exemplos

$\cot (x y) + x y = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cot (x y) + x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cot (x y) + x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cot (x y)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \cdot 1$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y + x y' + y$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Etapa 5.2

Simplifique $- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Mova $x y'$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) + x y' - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Etapa 5.2.1.2

Reordene $- x y' \csc^{2} (x y)$ e $x y'$ .

$x y' - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $- x y'$ de $x y'$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $- x y'$ de $- x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore $- x y'$ de $- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' (- 1 + \csc^{2} (x y)) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Etapa 5.2.5

Reorganize os termos.

$- x y' (\csc^{2} (x y) - 1) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Etapa 5.2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Etapa 5.2.7

Reordene $- y \csc^{2} (x y)$ e $y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Etapa 5.2.8

Reescreva $y$ como $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + 1 y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Etapa 5.2.9

Fatore $- y$ de $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y \csc^{2} (x y) = 0$

Etapa 5.2.10

Fatore $- y$ de $- y \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y (\csc^{2} (x y)) = 0$

Etapa 5.2.11

Fatore $- y$ de $- y (- 1) - y (\csc^{2} (x y))$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1 + \csc^{2} (x y)) = 0$

Etapa 5.2.12

Reorganize os termos.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (\csc^{2} (x y) - 1) = 0$

Etapa 5.2.13

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \cot^{2} (x y) = 0$

Etapa 5.3

Some $y \cot^{2} (x y)$ aos dois lados da equação.

$- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ por $- x \cot^{2} (x y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ por $- x \cot^{2} (x y)$ .

$\frac{- x y' \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $\cot^{2} (x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Cancele o fator comum de $\cot^{2} (x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{- x}$

Etapa 5.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$