Cálculo Exemplos

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{27}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{3}}{27}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.4

Combine $3$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.5

Combine $y^{2}$ e $\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.6

Combine $\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ e $y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.7

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.8

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

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Etapa 3.2.8.1

Fatore $3$ de $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.8.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $\frac{9}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{4 y}$ em relação a $x$ é $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $y$ por $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Etapa 3.3.7

Subtraia $y'$ de $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

Etapa 3.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$9, 4 y^{2}, 1$

Etapa 5.2.2

Since $9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

$9$ tem fatores de $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Etapa 5.2.5

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 5.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.7

O MMC de $9, 4, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Etapa 5.2.8

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Etapa 5.2.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

Etapa 5.2.8.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 \cdot 3$

Etapa 5.2.8.3

Multiplique $12$ por $3$ .

$36$

Etapa 5.2.9

Os fatores para $y^{2}$ são $y \cdot y$ , que é $y$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 5.2.10

O MMC de $y^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y \cdot y$

Etapa 5.2.11

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Etapa 5.2.12

O MMC de $9, 4 y^{2}, 1$ é a parte numérica $36$ multiplicada pela parte variável.

$36 y^{2}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ por $36 y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ por $36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore $9$ de $36$ .

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova $y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Some $2$ e $2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $4 y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ para o numerador.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.4.2

Fatore $4 y^{2}$ de $36 y^{2}$ .

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.2.1.5

Multiplique $9$ por $- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $36 y^{2}$ por $1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $4 y^{4} y' - 81 y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $y'$ de $4 y^{4} y'$ .

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $y'$ de $- 81 y'$ .

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $y'$ de $y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ .

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

Etapa 5.4.2

Reescreva $4 y^{4}$ como ${(2 y^{2})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

Etapa 5.4.3

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore.

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Etapa 5.4.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 y^{2}$ e $b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

Etapa 5.4.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

Etapa 5.4.5

Divida cada termo em $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ por $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.5.1

Divida cada termo em $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ por $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Etapa 5.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.5.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{2} + 9$ .

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Etapa 5.4.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Etapa 5.4.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Etapa 5.4.5.2.2

Cancele o fator comum de $2 y^{2} - 9$ .

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Etapa 5.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Etapa 5.4.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$