Cálculo Exemplos

${(\cos (π x) + \sin (π y))}^{9} = 17$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(\cos (π x) + \sin (π y))}^{9}) = \frac{d}{d x} (17)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = \cos (π x) + \sin (π y)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (π x) + \sin (π y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [\cos (π x) + \sin (π y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [\cos (π x) + \sin (π y)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (π x) + \sin (π y)$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} \frac{d}{d x} [\cos (π x) + \sin (π y)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (π x) + \sin (π y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (π y)]$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (π y)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $π x$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\sin (π y)])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\sin (π y)])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $π x$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\sin (π y)])$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (π y)])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (π y)])$

Etapa 2.4.3

Multiplique $π$ por $1$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [\sin (π y)])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π y$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $π y$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

Etapa 2.5.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $π y$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

Etapa 2.6

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π y$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) (π y'))$

Etapa 3

Como $17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $17$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) (π y')) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) π y') = 0$ por $9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) π y') = 0$ por $9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}$ .

$\frac{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) π y')}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}} = \frac{0}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) π y')}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}} = \frac{0}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) π y')}{{(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}} = \frac{0}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum de ${(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}$ .

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Etapa 5.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8} (- \sin (π x) π + \cos (π y) π y')}{{(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}} = \frac{0}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $- \sin (π x) π + \cos (π y) π y'$ por $1$ .

$- \sin (π x) π + \cos (π y) π y' = \frac{0}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.2.3

Reordene os fatores em $- \sin (π x) π + \cos (π y) π y'$ .

$- π \sin (π x) + π y' \cos (π y) = \frac{0}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $9$ .

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Etapa 5.1.3.1.1

Fatore $9$ de $0$ .

$- π \sin (π x) + π y' \cos (π y) = \frac{9 (0)}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.3.1.2.1

Fatore $9$ de $9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}$ .

$- π \sin (π x) + π y' \cos (π y) = \frac{9 (0)}{9 ({(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8})}$

Etapa 5.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- π \sin (π x) + π y' \cos (π y) = \frac{9 \cdot 0}{9 {(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- π \sin (π x) + π y' \cos (π y) = \frac{0}{{(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}}$

Etapa 5.1.3.2

Divida $0$ por ${(\cos (π x) + \sin (π y))}^{8}$ .

$- π \sin (π x) + π y' \cos (π y) = 0$

Etapa 5.2

Some $π \sin (π x)$ aos dois lados da equação.

$π y' \cos (π y) = π \sin (π x)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $π y' \cos (π y) = π \sin (π x)$ por $π \cos (π y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $π y' \cos (π y) = π \sin (π x)$ por $π \cos (π y)$ .

$\frac{π y' \cos (π y)}{π \cos (π y)} = \frac{π \sin (π x)}{π \cos (π y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π y' \cos (π y)}{π \cos (π y)} = \frac{π \sin (π x)}{π \cos (π y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \cos (π y)}{\cos (π y)} = \frac{π \sin (π x)}{π \cos (π y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (π y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cos (π y)}{\cos (π y)} = \frac{π \sin (π x)}{π \cos (π y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{π \sin (π x)}{π \cos (π y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{π \sin (π x)}{π \cos (π y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\sin (π x)}{\cos (π y)}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $\frac{\sin (π x)}{\cos (π y)}$ como um produto.

$y' = \sin (π x) \frac{1}{\cos (π y)}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva $\sin (π x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\sin (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π y)}$

Etapa 5.3.3.4

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.4.1

Divida $\sin (π x)$ por $1$ .

$y' = \sin (π x) \frac{1}{\cos (π y)}$

Etapa 5.3.3.4.2

Converta de $\frac{1}{\cos (π y)}$ em $\sec (π y)$ .

$y' = \sin (π x) \sec (π y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sin (π x) \sec (π y)$