Cálculo Exemplos

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Use o teorema binomial.

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.5

Aplique a regra do produto a $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.9

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.10

Aplique a regra do produto a $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

Etapa 2.2.1.12

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.12.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

Etapa 2.2.1.12.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.2.3

Como $x^{6}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $x^{6}$ em relação a $a$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.2.5

Como $- 3 x^{4}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- 3 x^{4} y^{2}$ em relação a $a$ é $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ .

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{2}$ e $g (a) = y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d a} [y]$ como $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.6

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $3 x^{2} y^{4}$ em relação a $a$ é $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{4}$ e $g (a) = y$ .

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Etapa 2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.8

Multiplique $4$ por $3$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.9

Reescreva $\frac{d}{d a} [y]$ como $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Etapa 2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- y^{6}$ em relação a $a$ é $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{6}$ e $g (a) = y$ .

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Etapa 2.11.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

Etapa 2.11.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Etapa 2.11.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Etapa 2.12

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Etapa 2.13

Reescreva $\frac{d}{d a} [y]$ como $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

Etapa 2.14

Reordene os termos.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $3 a^{4} x^{2}$ em relação a $a$ é $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 x^{2} (4 a^{3})$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{2} a^{3}$

Etapa 3.3.2

Reordene os fatores de $12 x^{2} a^{3}$ .

$12 a^{3} x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$