Cálculo Exemplos

$x^{2} - 2 x y + y^{3} = c$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d c} (x^{2} - 2 x y + y^{3}) = \frac{d}{d c} (c)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x y + y^{3}$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [x^{2}] + \frac{d}{d c} [- 2 x y] + \frac{d}{d c} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d c} [x^{2}] + \frac{d}{d c} [- 2 x y] + \frac{d}{d c} [y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $c$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d c} [- 2 x y] + \frac{d}{d c} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d c} [- 2 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2 x$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $c$ é $- 2 x \frac{d}{d c} [y]$ .

$0 - 2 x \frac{d}{d c} [y] + \frac{d}{d c} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d c} [y]$ como $y'$ .

$0 - 2 x y' + \frac{d}{d c} [y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d c} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = c^{3}$ e $g (c) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 - 2 x y' + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d c} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 2 x y' + 3 u^{2} \frac{d}{d c} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 - 2 x y' + 3 y^{2} \frac{d}{d c} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d c} [y]$ como $y'$ .

$0 - 2 x y' + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.4

Subtraia $2 x y'$ de $0$ .

$- 2 x y' + 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' = 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Fatore $y'$ de $- 2 x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $y'$ de $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + 3 y^{2} y' = 1$

Etapa 5.1.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 x) + y' (3 y^{2}) = 1$

Etapa 5.1.3

Fatore $y'$ de $y' (- 2 x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 2 x + 3 y^{2}) = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $y' (- 2 x + 3 y^{2}) = 1$ por $- 2 x + 3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $y' (- 2 x + 3 y^{2}) = 1$ por $- 2 x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 2 x + 3 y^{2})}{- 2 x + 3 y^{2}} = \frac{1}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 x + 3 y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 2 x + 3 y^{2})}{- 2 x + 3 y^{2}} = \frac{1}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{1}{- (2 x) + 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $- 1$ de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{1}{- (2 x) - (- 3 y^{2})}$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{- (2 x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.2.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.2.3.4.1

Reescreva $- (2 x - 3 y^{2})$ como $- 1 (2 x - 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{- 1 (2 x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.2.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{2 x - 3 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d c}$ .

$\frac{d y}{d c} = - \frac{1}{2 x - 3 y^{2}}$