Cálculo Exemplos

x^{3} - y^{3} = 7

$x^{3} - y^{3} = 7$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x^{3} - y^{3}

$x^{3} - y^{3}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie

\frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como

- 1

$- 1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- y^{3}

$- y^{3}$ em relação a

x

$x$ é

- \frac{d}{d x} [y^{3}]

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = x^{3}$ e

$g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é

$n u^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Reescreva

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Etapa 2.2.4

Multiplique

$3$ por

$- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Como

$7$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$7$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

Etapa 5

Resolva

$y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia

$3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por

$- 3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por

$- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de

$- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de

$y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de

$- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 6

Substitua

$y'$ por

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$