Cálculo Exemplos

$6 \sin (x) + \cos (y) = \sin (x) \cos (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (6 \sin (x) + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \sin (x) + \cos (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$6 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - y' \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y)$

Etapa 5.3

Some $y' \sin (x) \sin (y)$ aos dois lados da equação.

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y)$

Etapa 5.4

Subtraia $6 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Etapa 5.5

Fatore $y' \sin (y)$ de $- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y' \sin (y)$ de $- y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Etapa 5.5.2

Fatore $y' \sin (y)$ de $y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Etapa 5.5.3

Fatore $y' \sin (y)$ de $y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x)$ .

$y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (y)$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum de $- 1 + \sin (x)$ .

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Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.3.1.1

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.1.2

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como um produto.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.1.3

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.6.3.1.4.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.1.4.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.1.5

Multiplique $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Etapa 5.6.3.1.5.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.1.5.2

Combine $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ e $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.1.6

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Etapa 5.6.3.1.7

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como um produto.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.6.3.1.8

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.6.3.1.9

Simplifique.

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Etapa 5.6.3.1.9.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.6.3.1.9.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Etapa 5.6.3.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Etapa 5.6.3.1.11

Multiplique $- \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Etapa 5.6.3.1.11.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)} \csc (y)$

Etapa 5.6.3.1.11.2

Combine $\csc (y)$ e $\frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Etapa 5.6.3.1.12

Mova $6$ para a esquerda de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Etapa 5.6.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.6.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Etapa 5.6.3.2.2

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)$ .

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Etapa 5.6.3.2.2.1

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Etapa 5.6.3.2.2.2

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $- 6 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Etapa 5.6.3.2.2.3

Fatore $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Etapa 5.6.3.2.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) + \sin (x)}$

Etapa 5.6.3.2.4

Fatore $- 1$ de $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) - 1 (- \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.6.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$