Cálculo Exemplos

$2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x = 7 π$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x) = \frac{d}{d x} (7 π)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (y)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$2 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$2 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x) \cos (y)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)) + 1$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) - 3 (\cos (y) \cos (x)) + 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (y) \cos (x) + 1$

Etapa 2.6.3

Reordene os termos.

$- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x)$

Etapa 3

Como $7 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 π$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x)$ .

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $3 \cos (x) \cos (y)$ aos dois lados da equação.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 1 + 2 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y)$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1$

Etapa 5.2.3

Subtraia $2 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Etapa 5.3

Fatore $3 y' \sin (y)$ de $- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $3 y' \sin (y)$ de $- 3 y' \sin (y)$ .

$3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Etapa 5.3.2

Fatore $3 y' \sin (y)$ de $3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

$3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (y) \sin (x) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Etapa 5.3.3

Fatore $3 y' \sin (y)$ de $3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (y) \sin (x)$ .

$3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$ por $3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$ por $3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (y)$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $- 1 + \sin (x)$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.2

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.3

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como um produto.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.4

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 5.4.3.1.5.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.5.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.6

Multiplique $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Etapa 5.4.3.1.6.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.6.2

Combine $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ e $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.7

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 (- 1 + \sin (x))} \cdot \frac{1}{\sin (y)} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.8

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y) + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{1}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y) + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.10

Combine $\csc (y)$ e $\frac{1}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.11

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Etapa 5.4.3.1.12

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como um produto.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.4.3.1.13

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.4.3.1.14

Simplifique.

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Etapa 5.4.3.1.14.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 5.4.3.1.14.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$

Etapa 5.4.3.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$

Etapa 5.4.3.1.16

Multiplique $- \frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Etapa 5.4.3.1.16.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x) \cdot 2}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y)$

Etapa 5.4.3.1.16.2

Combine $\csc (y)$ e $\frac{\cos (x) \cdot 2}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 2)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.1.17

Mova $2$ para a esquerda de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.2

Para escrever $\frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(- 1 + \sin (x)) \cdot 3$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Multiplique $\frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3}{(- 1 + \sin (x)) \cdot 3} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(- 1 + \sin (x)) \cdot 3$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3 - \csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.5.1

Fatore $\csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3 - \csc (y)$ .

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Etapa 5.4.3.5.1.1

Fatore $\csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) - \csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.5.1.2

Fatore $\csc (y)$ de $- \csc (y)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) + \csc (y) \cdot - 1}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.5.1.3

Fatore $\csc (y)$ de $\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) + \csc (y) \cdot - 1$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3 - 1)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (x) \cos (y)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.3.6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) - 2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.6.2

Fatore $\csc (y)$ de $\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) - 2 \csc (y) \cos (x)$ .

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Etapa 5.4.3.6.2.1

Fatore $\csc (y)$ de $- 2 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) + \csc (y) (- 2 \cos (x))}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.6.2.2

Fatore $\csc (y)$ de $\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) + \csc (y) (- 2 \cos (x))$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.6.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1) + \sin (x))}$

Etapa 5.4.3.6.4

Fatore $- 1$ de $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}$

Etapa 5.4.3.6.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1 - \sin (x)))}$

Etapa 5.4.3.6.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (1 - \sin (x))}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (1 - \sin (x))}$